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精选山东省淄博市高青县2016_2017学年高二数学3月月考试题理

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山东省淄博市高青县 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 理

一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分)

1、函数

的导数是 ( )

A.

B.

C.

D.

2、用三段论推理:“任何实数的*方大于 0,因为 a 是实数,所以 a2>0”,你认为这个推理( ) A.大前提错误 B. 小前提错误 C 推理形式错误 D. 是正确的

3、.用反证法证明命题:“若 a、b、c 是三连续的整数,那么 a、b、c 中至少有一个是偶数”时,

下列假设正确的是( )

A.假设 a、b、c 中至多有一个偶数 B. 假设 a、b、c 中至多有两个偶数

C.假设 a、b、c 都是偶数

D. 假设 a、b、c 都不是偶数

4、若 f(x)=x2+2 f(x)dx,则 f(x)dx=( )

A.﹣1 B.﹣ C. D.1

5、. 设 A.
6、由直线

,则

(

)

B.

C.

D.

与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( )

A. B.1 C.

D.

7、已知函数 f(x)=mlnx+8x﹣x2 在[1,+∞)上单调递减,则实数 m 的取值范围为( )

A.(﹣∞,﹣8] B.(﹣∞,﹣8) C.(﹣∞,﹣6] D.(﹣∞,﹣6)

8、等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8),则 f′(0)=( )

A.26 B.29C.212 D.215

9、已知 a∈R,函数 f (x) ? ? 3 x2 ? (4a ? 2)x ? a(a ? 2) ln x 在(0,1)内有极值,则 a 的取值范围 2


A. (0,1) B. (?2, 0) (0,1) C. (?2, ? 1) (? 1 ,1) 22

D. (?2,1)

10、右图是函数 y=f(x)的 导函数 y=f′(x)的图象,给出下列命题:

① -3 是函数 y=f(x)的极小值点; ②-1 是函数 y=f(x)的极小值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜 率小于零; ④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增. 则正确命题的序号是 A.①④B.①②C.②③D.③④

11、直线 x ? t 分别与函数 f ? x? ? ex ?1的图象及 g ? x? ? 2x 的图象相交于点 A 和点 B ,则 AB 的

最小值为( )

A. 2

B. 3

C. 4 ? 2ln 2

D. 3? 2ln 2

12、已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 的导函数为 f ' (x) ,若对于任意实数 x ,有 f (x) ? f '(x) ,且

y ? f (x) ?1 为奇函数,则不等式 f (x) ? ex 的解集为( )

A. (??, 0)

B. (0, ??)

C. (??, e4 )

D. (e4, ??)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13、设曲线 y=

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则 a=.

14、函数 f(x)=

,则

f(x)dx 的值为.

15、已知函数 f(x)=x2(x-a).若 f(x)在(2,3)上不单调,则实数 a 的范围是________.
16、在对于实数 x ,[x] 表示不超过的最大整数,观察下列等式:

[ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 3 [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 10

[ 9] ? [ 10 ] ? [ 11] ? [ 12 ] ? [ 13 ] ? [ 14 ] ? [ 15 ] ? 21
……
按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为;

三 、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分)

17、已知函数 Ⅰ 求曲线
Ⅱ 直线 为曲线



在点

处的切线的方程;

的切线,且经过原点,求直线 的方程及切点坐标

18、已知函数 f (x) ? ?x3 ? ax2 ? 4

(1)若

在 x ? 4 处取得极值,求实数 的值; 3

(2)在(1)的条件下,若关于 的方程 f (x) ? m 在

上恰有两个不同的实数根,求实

数 的取值范围。

19、如图是一个半圆形湖面景点的示意图,已知 AB 为直径,且 AB=2km,O 为圆心,C 为圆周上靠*

A 的一点,D 为圆周上靠* B 的一点,且 CD∥AB,现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条观光路线,其

中 A 到 C 是圆弧 ,C 到 D 是线段 CD,设∠AOC=x rad,观光路线总长为 y km.

(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域;

(2)求观光路线总长的最大值.

20、
已知函数 f(x)=lnx- a ,其中 a∈R. x
(1) 当 a=2 时,求函数的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2) 如果对于任意 x∈(1,+∞),都有 f(x)>-x+2,求 a 的取值范围.

21、已 知 f(x)=x2﹣ax+lnx,a∈R.(1)当 a=3 时,求函数 f(x)的极小值; (2)令 g(x)=x2﹣f(x),是否存在实数 a,当 x∈[1,e](e 是自然对数的底数)时,函数 g(x)

取得最小值为 1.若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

22、已知函数 f(x)= +lnx﹣3 有两个零点 x1,x2(x1<x2) (Ⅰ)求证:0<a<e2 (Ⅱ)求证:x1+x2>2a.

试题答案

1、B2、A3、. D4、.B 5B6、D7、.A8、.C 9、D10、A11、.D12、.B

13、-2 14、π +10 三、解答题

15、(3,9/2)

16、 2n2 ? n

17、(1) 可判定点

在曲线

上.

因为



所以在点

处的切线的斜率为



所以切线的方程为

,即



(2) 设切点为



则直线 的斜率为



所以直线 的方程为



又因为直线 过点



所以



整理得,



所以



所以



. 所以直线 的方程为

,切点坐标为

18、 解:(1)由题意可得 f′(x)=﹣3x2+2ax

由题意得 f′( )=0,解得 a=2,经检验满足条件.

(2)由(1)知

,则 f′(x)=﹣3x2+4x

令 f′(x)=0,则 x=0,或 x= (舍去)

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

﹣1

(﹣1,0) 0

(0,1) 1

f′(x)



0

+

f(x) ﹣1



﹣4



﹣3

∵关于 x 的方程 f(x)=m 在[﹣1,1]上恰有两个不同的实数根,

∴﹣4<m≤﹣3

19、

解:(1)由题意得,

y=1?x+1?sin( ﹣x)×2

=x+2sin( ﹣x),(0<x< );

函数的定义域为{x|0<x< };

(2)y′=1﹣2cos( ﹣x),

令 y′=0 解得,x= ,

故当 x= 时,观光路线总长最大,

最大值为 +2× = + (km).

20 ( 1) 3x-y-5=0;(2)a≤-1.

(1)当 a

?

2 时,由已知得

f(x)=lnx-

1 x

,故

f′(x)=

1 x

?

2 x2



…………2 分

所以 f′(1)=1+2=3,又因为 f(1)=ln1-2=-2, 所以函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=3(x-1),
即 3x ? y ? 5 ? 0 ;…………4 分 (2)由 f (x) ? ?x ? 2 ,得 ln x ? a ? ?x ? 2 ,又 x ?(1, ? ? ) ,
x 故 a ? x ln x ? x2 ? 2x .…………6 分
设函数 g(x) ? x ln x ? x2 ? 2x , 则 g '(x) ? ln x ? x ? 1 ? 2x ? 2 ? ln x ? 2x ?1.…………7 分
x 因为 x ?(1, ? ? ) , 所以 ln x ? 0 , 2x ?1 ? 0 , 所以当 x ?(1, ? ? ) 时, g '(x) ? ln x ? 2x ?1 ? 0 ,…………9 分

故函数 g(x) 在 (1 , ? ? ) 上单调递增.

所以当 x ?(1, ? ? ) 时, g(x) ? g(1) ?1?ln1?1? 2?1 ? ?1.

因为对于任意 x ?(1, ? ? ) ,都有 f (x) ? ?x ? 2 成立,

所以对于任意 x ? (1 , ? ? ) ,都有 a ? g(x) 成立.

所以 a≤-1.… ………12 分

21、【解答】解:(1)由题可知,f(x)=x2﹣3x+lnx,所以



令 f'(x)=0,得

或 x=1…

令 f′(x)>0,解得:0<x< ,或 x>1,

令 f′(x)<0,解得: <x<1,

所以 f(x)在

,(1,+∞)单调递增,在

上单调递减



所以 f(x)的极小值是 f(1)=﹣2…

(2)由题知,g(x)=ax﹣lnx,所以



①当 a≤0 时,g(x)在[1,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=1,

解得:

(舍去)



②当

时,g(x)在[1,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=1,

解得:

(舍去)



③当

时,g(x)在

上单调递减,在

上单调

递增,



解得:a=1(舍去)



④当 a≥1 时,g(x)在[1,e]上单调递增,g(x)min=g(1)=a=1,

解得:a=1 …

综合所述:当 a=1 时,g(x)在 [1,e]上有最小值 1.…

22.【解答】证明:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),

f′(x)=



①a≤0 时,f′(x)≥0, ∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数, 不 可能有 2 个零点; ②a>0 时,在区间(0,a)上,f′(x)<0,在区间(a,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)在区间(0,a)递减,在区间(a,+∞)递增; f (x)的最小值是 f(a)=lna﹣2, 由题意得:有 f(a)<0,则 0<a<e2; (Ⅱ)要证 x1+x2>2a,只 要证 x2>2a﹣x1, 易知 x2>a,2a﹣x1>a, 而 f(x)在区间(a,+∞)递增, ∴只要证明 f(x2)>f(2a﹣x1), 即证 f(x2)>f( 2a﹣x1), 设函数 g(x)=f(x)﹣f(2a﹣x), 则 g(a)=0,且区间(0,a)上,

g′(x)=f′(x)+f′(2a﹣x)=

<0,

即 g(x)在(0,a)递减,

∴g(x1)>g(a)=0, 而 g(x1)=f(x1)﹣f(2a﹣x1)>0, ∴f(x2)>f(2a﹣x1)成立, ∴x1+x2>2a.




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