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济南大学2007-2008学年第二学期高等数学一(下)试卷

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2007 2008 学年第二学期试卷( 济南大学 2007-2008 学年第二学期试卷(A 卷) 课 程 高等数学一( 高等数学一(下) 授课教师 专业班级 专业班级 学号 四 五

是余弦级数; 是余弦级数; 所以是一般级数; (C) a n ≠ 0, bn ≠ 0, 所以是一般级数; 下列级数中,绝对收敛的级数是 3. 下列级数中,绝对收敛的级数是 ( ( A)

不能展开傅立叶级数. (D) 不能展开傅立叶级数. ).

200 考试时间 2008 年 7 月 7 日 姓名 题号 得分 得 分 1. 极限

∑ (?1) n
n =1



1 n

; (B )

(?1) n ∑ n 2 ; ( C) n =1


∑ (?1) n
n =1



n ; ( D) n +1
).

∑ (?1) n
n =1



2n . n3











总分

4. 若区域 D : x 2 + y 2 ≤ 2 x ,则 ∫∫ ( x + y ) x 2 + y 2 dxdy = (
D

( A) 填空题( 小题, 一、 填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) xy + 1 ? 1 = __________ . sin xy . 得 分 ( C)



π
π

0
2

(cos θ + sin θ )dθ ∫
2 cos θ 0

2 cos θ

0

r dr ; (B ) 2 ∫ 2 (cos θ + sin θ )dθ ∫
3 0

π

2 cos θ

0

r 3 dr



∫ π cosθdθ ∫
? 2

r 3 dr ;

( D)

∫ π sin θdθ ∫
2 ? 2

π

2 cos θ

0

r 3 dr

.

5. 设 L 是 从 点 (0,0) 沿 折 线 y = 1? | x ? 1 | 到 点 A (2,0) 的 折 线 段 , 则 积 分

( x , y ) →( 0 , 0 )

lim

∫ ? ydx + xdy
L

P(2,1,0 2. 曲面 e z ? z + xy = 3 上点 P(2,1,0) 处的切*面方程为 3. 幂级数 ∑ 4. 二重积分
2

等于( 等于( - 2.

). ( A) 0;

(B ) - 1;

(C) 2;

(D)

x 的收敛域为_____ 的收敛域为_____ n n =1 n3



n

__ .

∫∫ ( x + y +
x + y ≤1
2

1 ? x 2 ? y 2 )dxdy = _____________ .

计算题(本题共两小题 共两小题, 三 、计算题(本题共两小题,满分 14 分)
?2z 具有二阶连续偏导数, 1. (7 分) 设函数 z = f ( xy, x + y ), 其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 . ?x

5. ____





f ( x) = sin x
2

关 .



x

















小题, 二、单项选择题(本题共 5 小题,每题 4 分,满分 20 分) 单项选择题 选择 则它在点(1,0) (1,0)处 1. 设 z = x 3 ? 3 x ? y 2 ,则它在点(1,0)处( 取得极大值; (A) 取得极大值; 否有极值. 否有极值. 无极值; (B ) 无极值; ). ). 取得极小值; (C) 取得极小值; (D) 无法判定是 2.( 2.(7 分) 设函数 x 2 + y 2 + z 2 = 2 z ,求

?? 1 ? π < x < 0 2. 周 期 为 2π 的 函 数 f ( x) = ? ,展开成傅立叶级数,则 0< x<π ?1 ( 得 分 ). 所以是正弦级数; (A) a n = 0, bn ≠ 0, 所以是正弦级数; (B) bn = 0, a n ≠ 0, 所以

?z ?z ? 2 z , , . ?x ?y ?x?y

四、计算题(本题共两小题,满分 16 分) 计算题(本题共两小题, 计算曲 2. (8 分) 计算曲线积分 ∫ e
L x2 + y2

1. (8 分) 计算 ∫∫ ( y 2 ? x)dxdy, D 是由抛物线 x = y 2 和 x = 3 ? 2 y 2 所围成的闭区
D

ds ,其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 ,直线 y = x 及 x

轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界. 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

域.

2.(8 分) 计算 ∫∫∫ zdv , 其中 ? 是由 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a > 0) 及 z = x 2 + y 2 所围
?

得 分 和.

∞ x 2 n?1 1 (9 和函数, 并求级数 六、 9 分)求级数 ∑ ( 的和函数, 并求级数 ∑ 的 n n =1 2 n ? 1 n =1 ( 2 n ? 1) 4 ∞

成的立体. 成的立体.

得 分

五、计算题(本题共两小题,满分 16 分) 计算题( 本题共两小题,
2

x 2 2 2 1. (8 分 ) 计算曲线积分 I = ∫ (e ? x y ) dx + ( xy ? sin y )dy , 其中 L 是圆周 L

x 2 + y 2 = a 2 的顺时针方向. 时针方向.

1 (5 七、 5 分)设曲线段 L 的极坐标方程为 r = θ (0 ≤ θ ≤ ) ,其中任一 ( 2 1 求该曲线的质量. 点处线密度 ρ 为 ,求该曲线的质量. 1?θ 4

得 分

2007学年第二学期试卷( 济南大学 2007-2008 学年第二学期试卷(A 卷) 高等数学一( 高等数学一(下)答案

2 ∫∫ ( y ? x)dxdy = ∫ dy ∫ 2 D ?1 y

1

3? 2 y 2

( y 2 ? x)dx

4分 6分 8分

一、填空题(每空 4 分,共 20 分) 填空题( 1 2. x + 2 y ? 4 = 0 ; 1. ; 2

3. [?3,3) ;

4.

2π ; 3

1 9 9 = ∫ (? y 4 + 9 y 2 ? )dy ?1 2 2 24 =? 5

5.

1 1 ∞ ( 2 x) 2 n ? ∑ (?1) n 2 2 n =0 (2n)!



1 ∞ (2 x) 2 n ∑ (?1) n?1 (2n)! 2 n =1

2(8 分)解: 采用球坐标
? : 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ? ≤


二、单项选择题(每题 4 分,共 20 分) 单项选择题(
1 .B; 2. A; 3 B; 4 C; 5D

π
4

, 0≤r ≤a

2分 4分 6分 8

三、 共 14 分) (共 ( ?z = yf1′ + f 2′ 1(7 分) 解: ?x ?2z ′′ ′′ ′′ = y 2 f 11 + 2 yf 12 + f 22 2 ?x 2(7 分) 解: 令 F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 ? 2 z ,
Fx = 2 x , F y = 2 y , Fz = 2 z ? 2

3 ∫∫∫ zdv = ∫ dθ ∫ 4 d? ∫ r sin ? cos ?dr

π

a

3分 7分

?

0

0

0

= 2π ∫ 4 sin ? cos ?d? ∫ r 3 dr
0 0

π

a

=

πa 4
8

1分 2分 4分

分 (16 五、 16 分) ( 1(8 分)解: P = e x ? x 2 y, Q = xy 2 ? sin y 2
2

F ?z x =? x = , ?x Fz 1 ? z

Fy ?z y =? = , ?y Fz 1 ? z

1分 2分

?Q = y2, ?x

?P = ?x 2 , ?y

的函数,继续求导, 将 z 看作 x, y 的函数,继续求导,得
?2z xy = ?x?y (1 ? z ) 3

应用格林公式

I = ∫ (e x ? x 2 y )dx + ( xy 2 ? sin y 2 )dy .
2

L

7分

= ? ∫∫ (
D

?Q ?P ? )dσ = ? ∫∫ ( y 2 + x 2 )dσ ?x ?y D
a 0

5分 7分 8

四、 共 16 分) (共 ( 1(8 分) 解: 画出图形 求出两抛物线的交点为(1, (1,求出两抛物线的交点为(1,-1), 和(1,1)

1分 2分

= ? ∫ dθ ∫ r 2 rdr
0



=?

πa 4
2

分 2(8 分)解: 画图 L = L1 + L2 + L3 1分
a x a 0

=∫

1 2 0

1 ? θ 2 + (θ ′) 2 dθ 4 1?θ
1 1?θ 2
2 dθ = arcsin θ |0 = arcsin 1

4分

L1 : y = 0, 0 ≤ x ≤ a , ∫ e
L1

x +y
2

2

ds = ∫ e dx = e ? 1 ,

3分

= ∫2
0

1

1 2

5分

? x = a cos t L2 : ? , ? y = a sin t

0≤t ≤
π

π
4

,



L2

e

x2 + y2

ds = ∫ 4 e a [(a cos t )′] 2 + [(a sin t )′] 2 dt =
0

π
4

ae a

5分

L3 : y = x, 0 ≤ x ≤ a , ∫ e
L3

x2 + y2

ds = ∫

2a 2

0

e

2x

1 + ( x ′) 2 dx = e a ? 1

7分 8分 1分 2分



∫e
L

x2 + y2

ds = e a ? 1 +

π
4

ae a + e a ? 1 =

π
4

ae a + 2e a ? 2

u n +1 x 2 n +1 2n ? 1 (9 |= lim | ? |=| x | 2 六、 9 分)解: lim | ( n →∞ n →∞ 2n + 1 x 2 n ?1 un

时级数收敛, 级数发散,所以收敛域为( 当 | x |< 1 时级数收敛,且 x = ±1 时,级数发散,所以收敛域为(-1,1). 在收敛域内

S ( x) = ∑

∞ x x 2 n ?1 = ∑ ∫ x 2 n? 2 dx 0 n =1 2 n ? 1 n =1 ∞ ∞

3分

= ∫ (∑ x 2 n ? 2 )dx = ∫
0 n =1

x

x

0

1 dx 1? x2

5分 7分

=


1 1+ x ln 2 1? x

1 1 ∑ (2n ? 1)4 n = 2 n =1

∑ (2n ? 1)2
n =1



1

2 n ?1

1 1 1 = S ( ) = ln 3 2 2 4

9分

(5 七、 5 分)解: m = ∫ ρds (
L

2分




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