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2011年高考数学试题分类汇编 专题几何证明选讲 理

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年高考试题数学(理科)选修系列: 2011 年高考试题数学(理科)选修系列:几何证明选讲
一、选择题: 选择题: 1.(2011 年高考北京卷理科 5) (2011 5)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F, 延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA; ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ~△ADG 其中正确结论的序号是 A.①② C.①③ 【答案】A 【解析】由切线长定理得 AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以 AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE,故①正确; 由切割线定理知, AD 2 = AF·AG,故②正确,所以选 A. 二、填空题: 填空题: 12)如图 如图, 1. (2011 年高考天津卷理科 12)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线 上一点, ,AF:FB:BE=4:2:1.若 与圆相切, 上一点,且 DF=CF= 2 ,AF:FB:BE=4:2:1.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为 . B.②③ D.①②③

【答案】

7 2

【解析】设 AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得: DF 2 = AF ? FB , 即 8x = 2 , 即 x =
2

2

1 7 2 2 , 由 切 割 线 定 理 得 : CE = EB ? EA = 7 x = , 所 以 4 4

CE =

7 . 2

2. (2011 年高考湖南卷理科 11) 11)如图 2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直 径 BC=4,AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则的 AF 长为 .

答案:

2 3 3

解析:如图 2 中,连接 EC,AB,OB,由 A,E 是半圆周上的两个三等分点可知:∠EBC=30°,且

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1

⊿ABO 是正三角形,所以 EC=2,BE= 2

3 ,BD=1,且 AF=BF=

2 3 2 3 .故填 3 3

评析:本小题主要考查*面几何中直线与圆的位置关系问题,涉及与圆有关的定理的运用. 年高考广东卷理科 15)( 3. (2011 年高考广东卷理科 15)(几何证明选讲选 做题) 做题)如图 4,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和 割线交圆于 A, B 。且 PB = 7 , C 是圆上一点使得

BC = 5 , ∠BAC = ∠APB ,则 AB =
【答案】 35. 答案】

.

【 解 析 】 由 题 得 ∠PAB = ∠ACB ∴ ?PAB ~

?ABC ∴

PB AB 7 AB = ∴ = ∴ AB = 35 AB BC AB 5

15)(几何证明选做题)如图 ∠B = ∠D, AE ⊥ BC , 4.(2011 年高考陕西卷理科 15)

∠ACD = 900 , 且AB = 6, AC = 4, AD = 12, 则BE =
【答案】 4 2 【解析】 Q ∠ACD = 900 , AD = 12, AC = 4 :

∴ CD = AD 2 ? AC 2 = 122 ? 42 = 8 2
又 Rt ? ABE ? Rt ? ADC 所以

AB BE AB × DC 6 × 8 2 = =4 2 = ,即 BE = AD DC AD 12

三、解答题: 解答题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 22) (2011 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

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2

(I)证明:CD//AB;

又 CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故 A,B,G,F 四点共圆 2. (2011 年高考全国新课标卷理科 22) 22)(本小题满分 10 分) 选修 4-1 几何证明选讲 如图,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,且不与顶点重合,已知 AE = m, AC = n, AD, AB 为方程 x ? 14 x + mn = 0 的两根,
2

(1) 证明 C,B,D,E 四点共圆; (2) 若 ∠A = 90°, m = 4, n = 6 ,求 C,B,D,E 四点所在圆的半径 分析: (1)按照四点共圆的条件证明; (2)运用相似三角形与圆、四 边形、方程的性质及关系计算。 解 析 : I ) 连 接 DE , 根 据 题 意 在 △ ADE 和 △ ACB 中 , (
A D B C E

第 22 题图

AD × AB = mn = AE × AC


AD AE = .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB AC AB
所以 C,B,D,E 四点共圆。

2

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂 线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆 的圆心为 H,半径为 DH.
0

由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF=

1 (12-2)=5. 2
3

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故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 点评: 此题考查*面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。 注意把握判定与性质的 作用。 21)选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 3.(2011 年高考江苏卷 21) 如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A ,其半径分别为 r1 与 r2 ( r1 > r2 ) , 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上) , 求证: AB : AC 为定值。 解析:考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。 证明:由弦切角定理可得 ? AO2C ?? AO1 B,∴

AB O1 B r1 = = AC O2C r

第21-A图

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4




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