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江苏省2019高考数学二轮复*考前回扣4数列不等式学案

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4.数列、不等式
1.等差数列及其性质 (1)等差数列的判定:an+1-an=d(d 为常数)或 an+1-an=an-an-1 (n≥2). (2)等差数列的性质 ①当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)·d=dn+a1-d 是关于 n 的一次函数,
且斜率为公差 d;前 n 项和 Sn=na1+n?n2-1?d=d2n2+???a1-d2???n 是关于 n 的二次函数且常数项
为 0. ②若公差 d>0,则为递增等差数列;若公差 d<0,则为递减等差数列;若公差 d=0,则为常 数列. ③当 m+n=p+q 时,则有 am+an=ap+aq,特别地,当 m+n=2p 时,则有 am+an=2ap. ④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列. ⑤???Snn???为等差数列. [问题 1] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=12,S20=17,则 S30 为________. 答案 15 2.等比数列及其性质 (1)等比数列的判定:aan+n 1=q(q 为常数,q≠0)或aan+n 1=aan-n 1(n≥2).

(2)等比数列的性质

①当 m+n=p+q 时,则有 am·an=ap·aq,特别地,当 m+n=2p 时,则有 am·an=a2p. ②Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(Sk≠0)成等比数列. [问题 2] (1)在等比数列{an}中,a3+a8=124,a4a7=-512,公比 q 是整数,则 a10=________. (2)各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5·a6=9,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=________. 答案 (1)512 (2)10

3.求数列通项的常见类型及方法

(1)已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳、猜想法.

(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义,可直接利用等差或等比数列的公式写

出通项公式.

(3)若已知数列的递推公式为 an+1=an+f(n),可采用累加法. (4)数列的递推公式为 an+1=an·f(n),则采用累乘法.

(5)已知 Sn 与 an 的关系,利用关系式 an=?????SS1n-,Snn-=1 1,,n≥2,

求 an.

(6)构造转化法:转化为等差或等比数列求通项公式.

[问题 3] 已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(xy)=xf(y) +yf(x)成立.数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*),且 a1=2,则数列{an}的通项公式为 an= ________. 答案 n·2n 解析 令 x=2,y=2n-1,当 n≥2 时,f(xy)=f(2n)=2f(2n-1)+2n-1f(2),即 an=2an-1+2n, a2nn=2ann--11+1,所以数列???a2nn???是首项为 1,公差为 1 的等差数列,由此可得a2nn=1+(n-1)×1=n, 即 an=n·2n,当 n=1 时,满足 a1=2. 4.数列求和的方法

(1)公式法:等差数列、等比数列求和公式;

(2)分组求和法;

(3)倒序相加法;

(4)错位相减法;

(5)裂项法
如:n?n1+1?=1n-n+1 1;n?n1+k?=1k???1n-n+1 k???.

(6)并项法

数列求和时要明确:项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法.

[问题 4] 数列{an}满足 an+an+1=12(n∈N,n≥1),若 a2=1,Sn 是{an}的前 n 项和,则 S21 的

值为________.

答案

9 2

5.如何解含参数的一元二次不等式

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑:①二次项系数,

它决定二次函数的开口方向;②判别式 Δ ,它决定根的情形,一般分 Δ >0、Δ =0、Δ <0 三

种情况;③在有根的条件下,要比较两根的大小,也是分大于、等于、小于三种情况.在解

一元二次不等式时,一定要画出二次函数的图象,注意数形结合.

[问题 5] 解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0 (a>0). 解 原不等式化为???x-1a???(x-1)<0.

∴当 0<a<1 时,不等式的解集为?????x???1<x<1a

???;
??

当 a>1 时,不等式的解集为?????x???1a<x<1

???;
??

当 a=1 时,不等式的解集为?.

6.处理二次不等式恒成立的常用方法

(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法,当 x 的取值为全体实数时,一般应用此法.

(2)转化为求函数最值问题,如大于零恒成立可转化最小值大于零.

(3)能分离变量的,尽量把参变量和变量分离出来.

(4)数形结合,结合图形进行分析,从整体*盐胀夹危

[问题 6] 如果 kx2+2kx-(k+2)<0 恒成立,则实数 k 的取值范围是__________.

答案 (-1,0]

解析 当 k=0 时,原不等式等价于-2<0,显然恒成立,所以 k=0 符合题意.

当 k≠0 时,由题意,得

??k<0, ????2k?2-4k·[-?k+2?]<0, 解得-1<k<0.所以-1<k≤0.

7.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正,二定,三相等”.常用

技巧:

(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑.

(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元.

(3)当题中等号条件不成立时,可考虑从函数的单调性入手求最值.

[问题 7] 若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是__________. 答案 7+4 3

? ab>0, ? 解析 由题意得 ab≥0,
?3a+4b>0,

所以?????ab>>00,.

又 log4(3a+4b)=log2 ab,
所以 log4(3a+4b)=log4(ab), 所以 3a+4b=ab,故4a+3b=1. 所以 a+b=(a+b)???4a+3b???=7+4ab+3ba ≥7+2 4ab·3ba=7+4 3, 当且仅当4ab=3ba时取等号.
8.解决线性规划问题有三步

(1)画:画出可行域(有图象).

(2)变:将目标函数变形,从中抽象出截距或斜率或距离. (3)代:将合适的点代入到原来目标函数中求最值.

利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题 (1)截距型:如求 z=y-x 的取值范围.

(2)条件含参数型:

?? x-2≤0, ①已知 x,y 满足约束条件?y-1≤0,
??x+2y+k≥0,

且 z=y-x 的最小值是-4,则实数 k=2.

?? x-2≤0, ②已知 x,y 满足约束条件?y-1≤0,
??x+2y+k≥0,

且存在无数组(x,y)使得 z=y+ax 取得最小

值,则实数 a=12. (3)斜率型:如求yx+ +ba的取值范围. (4)距离型(圆半径*方型 R2):如求(x-a)2+(x-b)2 的取值范围.

[问题 8]

?? x-y≥0, 已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2,
??y≥0.

若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=

________.

答案 2

解析 画出不等式组表示的*面区域如图阴影部分所示,若 z=ax+y 的最大值为 4,则最优

解为 x=1,y=1 或 x=2,y=0,经检验知 x=2,y=0 符合题意,所以 2a+0=4,此时 a=

2.

易错点 1 忽视等比数列中 q 的范围 例 1 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=S9,则数列{an}的公比 q=________. 易错分析 没有考虑等比数列求和公式 Sn=a1?11--qqn?中 q≠1 的条件,本题中 q=1 恰好符合 题目条件. 解析 ①当 q=1 时,S3+S6=9a1,S9=9a1, ∴S3+S6=S9 成立. ②当 q≠1 时,由 S3+S6=S9, 得a1?11--qq3?+a1?11--qq6?=a1?11--qq9?. ∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0. ∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1.

答案 1 或-1 易错点 2 忽视分类讨论
例 2 若等差数列{an}的首项 a1=21,公差 d=-4, 求 Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 易错分析 要去掉|an|的绝对值符号,要考虑 an 的符号,对 n 不讨论或讨论不当容易导致错 误. 解 an=21-4(n-1)=25-4n. 令 an≥0,得 n≤6,n∈Z. 当 n≤6 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=-2n2+23n; 当 n≥7 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =(a1+a2+a3+…+a6)-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an) =2n2-23n+132. 所以 Sn=?????- 2n22-n2+232n3+n, 132n≤ ,6n, ≥7.
易错点 3 已知 Sn 求 an 时忽略 n=1 例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),求数列{an}的通项 an. 易错分析 an=Sn-Sn-1 成立的条件是 n≥2,若忽略对 n=1 时的验证则出错. 解 因为 an+1=2Sn, 所以 Sn+1=3Sn,所以SSn+n 1=3. 因为 S1=a1=1, 所以数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,Sn=3n-1 (n∈N*). 所以当 n≥2 时,an=2Sn-1=2×3n-2(n≥2),
所以 an=?????12, ×n3= n-21,,n≥2,n∈N*. 易错点 4 数列最值问题忽略 n 的限制
例 4 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an = (n + 2) ???190??? n(n∈N*) , 则 数 列 {an} 的 最 大 项 是
__________.

易错分析 求解数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值,无论是利用 Sn 还是利用 an 来求,都要注意 n 的取值的限制,因为数列中可能出现零项,所以在利用不等式(组)求解时,不能漏掉不等式(组) 中的等号,避免造成无解或漏解的失误. 解析 因为 an+1-an=(n+3)???190???n+1-(n+2)???190???n=???190???n·71-0n,当 n<7 时,an+1-an>0,即 an+1>an;当 n=7 时,an+1-an=0,即 an+1=an;当 n>7 时,an+1-an<0,即 an+1<an.故 a1<a2<…<a7 =a8>a9>a10…, 所以此数列的最大项是第 7 项或第 8 项. 答案 第 7 项或第 8 项
易错点 5 裂项法求和搞错剩余项 例 5 在数列{an}中,an=n+1 1+n+2 1+…+n+n 1,又 bn=ana1n+1,则数列{bn}的前 n 项和为 __________. 易错分析 裂项相消后搞错剩余项,导致求和错误.一般情况下剩余的项是对称的,即前面 剩余的项和后面剩余的项是对应的. 解析 由已知得 an=n+1 1+n+2 1+…+n+n 1 =n+1 1(1+2+…+n)=n2,
从而 bn=ana1n+1=n2·1n+2 1=4???1n-n+1 1???, 所以数列{bn}的前 n 项和为
Sn=4??????1-21???+???12-13???+???13-14??? +… +???1n-n+1 1?????? =4???1-n+1 1???=n4+n1.
4n 答案 n+1
易错点 6 线性规划问题最优解判断错误 例 6 P(x,y)满足|x|+|y|≤1,求 ax+y 的最大值及最小值. 易错分析 由 ax+y=t,得 y=-ax+t,欲求 t 的最值,要看参数 a 的符号.忽视参数的符 号变化,易导致最值错误. 解 P(x,y)满足的线性区域如图所示. ①当 a<-1 时,直线 y=-ax+t 分别过点(-1,0)与(1,0)时,ax+y 取得最大值与最小值,

其值分别为-a,a.
②当-1≤a≤1 时,直线 y=-ax+t 分别过(0,1)与(0,-1)时,ax+y 取得最大值与最小值, 其值分别为 1,-1. ③当 a>1 时,直线 y=-ax+t 分别过点(1,0)与(-1,0)时,ax+y 取得最大值与最小值,其 值分别为 a,-a.

易错点 7 运用基本不等式忽视条件

例7

函数

y=

x2+5 x2+4的最小值为________.

易错分析 应用基本不等式求函数最值,当等号成立的条件不成立时,往往考虑函数的性质,

结合函数的单调性,同时注意函数的定义域.

解析

y=

x2+5 x2+4+1 x2+4= x2+4 =

x2+4+

1 x2+4 .

设 t= x2+4,则 t≥2,所以函数变为 f(t)=t+1t(t≥2).这时,f(t)在[2,+∞)上单调

递增,所以

f(t)≥f(2)=52,所以函数

y=

x2+5

5

x2+4的最小值为2.

答案

5 2

1.不等式

? ??

1 2

2
? ??

x2

?

x?1

>1

的解集是________.

答案 ???-1,21???

解析

∵不等式

? ??

1 2

2
? ??

x2

?

x

?1

>1,

∴2x2+x-1<0,即(2x-1)(x+1)<0,

解得-1<x<12, ∴原不等式的解集为???-1,21???. 2.已知等差数列{an}的公差为 d,若 a1,a2,a3,a4,a5 的方差为 8,则 d 的值为________.

答案 ±2

解析 因为{an}成等差数列,所以 a1,a2,a3,a4,a5 的*均数为 a3,所以方差为15[(-2d)2 +(-d)2+0+(d)2+(2d)2]=2d2=8,解得 d=±2.

3.已知数列{an}满足 3an?1 =9·(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log 1 (a5+a7+a9)=________.
3
答案 -3

解析 由已知 3an?1 ? 9 ? 3an ? 3an?2 ,所以 an+1=an+2,所以数列{an}是公差为 2 的等差数列,

a5+a7+a9=(a2+3d)+(a4+3d)+(a6+3d)=(a2+a4+a6)+9d=9+9×2=27, log 1 (a5+a7
3
+a9)= log1 27 =-3.
3
4.若命题“? x∈R,ax2-ax-2≤0”为真命题,则实数 a 的取值范围是________.
答案 [-8,0]
解析 当 a=0 时,-2≤0,不等式显然成立;

当 a≠0 时,由题意知?????aΔ<0=,a2+8a≤0, 解得-8≤a<0.

综上可知,-8≤a≤0. 5.(2018·江苏扬州中学模拟)已知数列{an}与???an2n???均为等差数列(n∈N*),且 a1=2,则 a10= ________.

答案 20

解析 设数列{an}的公差为 d,则 an=nd+2-d, 所以an2n=?nd?2+2?2-nd?nd+?2-d?2, 因为???an2n???为等差数列, 所以 d=2,故 a10=20.

?? 3x-2y+6>0, 6.若 x,y 满足约束条件?x≤0,
??y≥0,

则 z=2x-y 的取值范围是________.

答案 (-4,0] 解析 由 z=2x-y,得 y=2x-z, 作出不等式组对应的*面区域(阴影部分)如图,

*移直线 y=2x-z,由图象可知当直线 y=2x-z 经过点 A(-2,0)时,直线 y=2x-z 的截距 最大,此时 z 最小. 当直线 y=2x-z 经过点 O(0,0)时,直线 y=2x-z 的截距最小,此时 z 最大. 所以 z 的最小值为-4,最大值为 0.

即-4<z≤0.

7.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3,S9,S6 成等

差数列,且 a8=3,则 a5 的值为________.

答案 -6

解析 设等比数列{an}的公比为 q.

∵S3,S9,S6 成等差数列,

∴2S9=S3+S6,且 q≠1. ∴2a11?1--qq9?=a1?11--qq3?+a1?11--qq6?,

即 2q6-q3-1=0.

∴q3=-12或 q3=1(舍去),

∵a8=3,∴a5=aq83=

3 1=-6.

-2

8.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b≤8c,2a+3b≤2c,则3a+c 8b的取值范围为________.

答案 [27,30]

??ac+2cb≤8, ? 解析 方法一 由题意可得 2c 3c
?? a + b ≤2,

x+2y≤8,
??? 设ac=x,bc=y,则 2x+3y≤2, ??x,y>0,

所求可转化为 t=3x+8y.

x+2y≤8,
??? 又 2x+3y≤2, ??x,y>0

x+2y≤8,
??? 可化为 y≥2x3-x 2=2x3-2+32, ??x>1,y>0,

可行域如图所示,当直线 t=3x+8y 与曲线 y=2x3-x 2相切时有最小值,当直线 t=3x+8y 经

过点 A 时有最大值.

??x+2y=8, 由???y=2x3-x 2,

解得 A(2,3),即 tmax=30.

又 y=2x3-x 2,所以 y′=?2x--62?2=-38, 解得 x=3,y=94,即切点坐标为???3,94???,

所以 tmin=27,即 t 的取值范围为[27,30].

方法二 因为2a+3b≤2c≤a+162b,

4b 3a

4b 3a

所以 8+ a + b ≤16,即 a + b ≤8,

2a 解得3≤b≤2,

所以3a+c 8b≤8?3aa++28bb?

=8???3+a+2b2b???=8????3+ab+2 2????≤30; 由2a+3b≤2c可知,1c≥1a+23b,

则3a+c 8b≥(3a+8b)???1a+23b???=15+8ab+92ab≥27,

8b 9a 当且仅当 a =2b,即

3a=4b

时,取等号.

3a+8b 故 c 的取值范围为[27,30].

9.已知 a+b=2,b>0,当2|1a|+|ab|取最小值时,实数 a 的值是________.

答案 -2

解析 方法一 2|1a|+|ba|=a4+|ab|+|ba|=4|aa|+4|ba|+|ba|≥-14+2 当且仅当 a<0,且4|ba|=|ab|,即 a=-2,b=4 时取等号.

4|ba|·|ab|=34,

方法二 因为 a+b=2,b>0,

所以2|1a|+|ab|=2|1a|+2|-a|a,a<2.

设 f(a)=2|1a|+2|-a|a,a<2,

??21a+2-a a,0≤a<2,
则 f(a)=
???-21a-2-a a,a<0.

当 a<0 时,f(a)=-21a-2-a a, 从而 f′(a)=21a2-?a-2 2?2=-?23aa2-?a2-??2a?+2 2?, 故当 a<-2 时,f′(a)<0;当-2<a<0 时,f′(a)>0,

故 f(a)在(-∞,-2)上是减函数,在(-2,0)上是增函数, 故当 a=-2 时,f(a)取得极小值34;同理,当 0≤a<2 时,函数 f(a)在 a=23处取得极小值54. 综上,当 a=-2 时,f(a)min=34. 10.若 a,b 均为正实数,且 a+ b-a≤m b恒成立,则实数 m 的最小值是________.

答案 2 解析 由于 a,b 均为正实数,

且 a+ b-a≤m b, 显然有 m>0,b≥a,

两边*方得 a+b-a+2 a?b-a?≤m2b,

即 b+2 a?b-a?≤m2b,

于是 m2≥1+2

ab-???ab???2,

令ab=t(0<t≤1),

则 m2≥1+2 t-t2在 0<t≤1 时恒成立,

即 m2≥1+2

-???t-12???2+14,

从而 m2≥2,故 m 的最小值为 2.

11.已知函数 f(x)=x22+x 6.

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值;

(2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围.

解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0.

由已知{x|x<-3 或 x>-2}是其解集,

得 kx2-2x+6k=0 的两根是-3,-2.

2 由根与系数的关系可知,(-2)+(-3)=k, 即 k=-25.

(2)因为

x>0,f(x)=x22+x 6=x+2 6x≤2

2

= 6

6 6,

当且仅当 x= 6时取等号.

由已知

f(x)≤t

对任意

x>0

恒成立,故

t≥

6 6,

即 t 的取值范围是??? 66,+∞???.

12.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 8Sn=a2n+4an+3(n∈N*),且 a1,a2,

a7 依次是等比数列{bn}的前三项.

(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;

(2)是否存在常数 a>0 且 a≠1,使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列?若存在,求出 a 的值;

若不存在,请说明理由.

解 (1)当 n=1 时,8a1=a21+4a1+3,a1=1 或 a1=3. 当 n≥2 时,8Sn-1=a2n-1+4an-1+3, an=Sn-Sn-1=18(a2n+4an-a2n-1-4an-1), 从而(an+an-1)(an-an-1-4)=0. 因为{an}的各项均为正数,所以 an-an-1=4. 所以,当 a1=1 时,an=4n-3; 当 a1=3 时,an=4n-1. 又因为当 a1=1 时,a1,a2,a7 分别为 1,5,25,构成等比数列,所以 bn=5n-1. 当 a1=3 时,a1,a2,a7 分别为 3,7,27,不构成等比数列,舍去. 所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为 an=4n-3,bn=5n-1,n∈N*. (2)存在满足条件的 a,理由如下: 由(1)知,an=4n-3,bn=5n-1,从而 an-logabn=4n-3-loga5n-1=4n-3-(n-1)·loga5=

(4-loga5)n-3+loga5.由题意,得 4-loga5=0,所以 a=4 5.




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